如何定义一个函数，用来生成根号套嵌的通项表达式

Question

问题：定义函数 f[n] 用以生成下面的通项公式的具体值：

$${{a}_{n}}=\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\cdots \sqrt{n}}}}$$

例如

输入：f[3]

返回：$\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3}}}$

为抛砖引玉，下面是我写的一个笨方法：

Clear[f, a]
f[1] = Sqrt[a + 1];
f[n_] := f[
   n] = (f[n - 1] /. 
    Sqrt[a + x_] /; NumberQ[x] :> Sqrt[a + x + Sqrt[a + x + 1]])
f[10] /. a -> 0

 

Answer 1

向外的：

f[n_] := Fold[#2 + Sqrt@# &, Range[n, 0, -1]]
f@3

向内的：

f[m_] := Module[{f}, f[m] = m; f[n_] := n + Sqrt@f[n + 1]; Sqrt@f@1]
f@5

eggpain的：

f[n_] := StringJoin @@ Flatten[{"+Sqrt[" <> ToString@# & /@ Range@n, Table["]", {n}]}] //
   ToExpression

 

Comments

三种方法都很赞，第一个很简洁。后两个，让我开阔思路了！

Answer 2

有个函数 Nest  你可以参考一下帮助文档