由一个3D传热反问题引发的：一个比较特殊的 积分－微分方程 的数值解，特别是有限元数值解

Question

NDSolve[{D[u[t, x], t] + Cos[u[t, x]^3 t] +10 D[u[t, x], x, x]^3 == -Sin[10 t] + p[t], NIntegrate[u[t, x], {x, 0, 1}] == 0.1 Sin[t], u[0, x] == 0,u[t,0]==u[t,1]==0,p[0] == 0}, {u, p}, {t, 0, 1}, {x, 0,1}]

 

u是x和t的函数

p只是t的函数

这个问题的来源于一个传热问题的反问题，原问题是三维的，为了简化问题，我在这里展示了一个简单的一维问题。

Comments

-1，这方程里至少有两处错误，1. Derivative[2] u[t, x] 2. 有两个未知函数但除掉限制条件只有一个方程。这个问题并不容易，但它不是你提问时不上心的理由。

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非常感谢关注和批评。
1. ux的初值的代码写错了，已经更改。这个错误我承认。
2. 但这个问题是完备的：两个方程 微分方程＋积分方程，两个未知数u(x,t)和p(t)。这个问题的1维原版我已经求解出来，上面给出的这个要比原版简单。这一点正是这个问题的难解之处，特别是微分方程中的p(t)并没有出现在积分方程中。
3. 其实，我想要的是这个问题的有限元解法，然后扩展到2D不规则域上。为了明确起见，我在题目里加了这点。

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……嗯，仔细一看发现是封闭的。<s>当然我可以耍赖说之前那个错误的边界对我造成了干扰。</s>然后，如果你是因为不想编程了所以才想要试试Mathematica的有限元的话，那么，放弃吧。一来"FiniteElement"方法现在还不能支持非线性方程（用低层FEM函数也许可以，但这也是编程），二来积分微分方程本来就是个坑。有没有软件在这方面有直接支持我也不清楚，但我并不十分期待。

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嗯，在stackexchange经常看到您的大名，也知道您是求解微分方程的专家。
直接求解是不支持非线性，所以我才想用底层一点FEM功能来做。
我记得stackexchange上有人用mathematica的FEM求解了非线性的navier－stokes方程。

正如您所说：“（用低层FEM函数也许可以，但这也是编程）”，这就是我想要的，这种编程是我想要的，而不是自己从划分网格，weak form，刚度组装开始。不是不喜欢编程，是不喜欢重复再造轮子。

问题中也附上了上面所提问题的编程结果，供参考。

Answer 1

这个比较麻烦，如果只是一维问题的话，编程还是可以的。

Comments

谢谢
是的，1D的我已经实现了，用matlab 有限差分做的。
我想知道怎么用mathematica内置的函数如底层一点的FEM来做。
其实，我还是懒得再编程了 　　:(

Answer 2

嗯，用mathematica做这个我不了解，但用comsol可以试试。

 

mathematica中引入了有限元，不知能否用来解决这个问题。

 

不好意思，不是回答，只是建议。

Comments

谢谢，有空我去了解下cosmol