微分方程指数解如何化为三角函数形式

Question

本人目前需要用拉普拉斯解一道微分方程组，已经求解出来了，可是返回的解明显可以进一步化简为纯三角函数形式，求化简方法...这里的参数a>0,b>0,c>0,d>0,e>0，且be-c^2>0...

eqns = {a y1''[t] + b y1[t] + c y2[t] == 0,
   d y2''[t] + c y1[t] + e y2[t] == 0};
init = {y1[0] == 0, y1'[0] == v1, y2[0] == 0, y2'[0] == v2};
sol1 = InverseLaplaceTransform[#, s, t] & /@
     Solve[LaplaceTransform[eqns, t, s],
       LaplaceTransform[#, t, s] & /@ {y1[t], y2[t]}][[1, All,
      2]] /. (init /. Equal -> Rule) // FullSimplify // TrigToExp

Comments

难道不是ExpToTrig？

Answer 1

sol1 /. {-E^(-x_) + E^(x_) :> 2 I Sin[x/I]} 
 /. {4 a c^2 d + b^2 d^2 - 2 a b d e + a^2 e^2 -> expr1} 
 /. {Sinh[(Sqrt[-b d - a e - Sqrt[expr1]] t)/(Sqrt[2] Sqrt[a] Sqrt[d])] -> expr2, 
  Sinh[(Sqrt[-b d - a e + Sqrt[expr1]] t)/(Sqrt[2] Sqrt[a] Sqrt[d])] -> expr3}

 

Comments

我运行后报错了...Syntax::tsntxi: "/.{4a c^2d+b^2d^2-2a b d e+a^2e^2->expr1}" 不完整；需要更多输入.
而且返回的答案为双曲正弦函数，而不是正弦函数...理论上应该是正弦函数，原因提问中已经说明了。

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不好意思，那个报错是由于有回车符我没有删除，但是Sinh[(Sqrt[-b d - a e - Sqrt[expr1]] t)/(Sqrt[2] Sqrt[a] Sqrt[
      d])] -> expr2 是把双曲余弦赋给了expr2，我想要三角函数正弦函数的表达形式如提问的最下面的那个例子，是一个正弦函数，我再试试，可能是我没有理解

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谢谢苹果，我看懂了，但还有一点需要麻烦你，能否把expr2和expr3直接化为正弦函数形式(-E^(-2 I t) + E^(2 I t))/I // ExpToTrig返回2 Sin[2 t]，如同2Sinh[2I t]/I返回2 Sin[2 t]。

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先这样吧，后面自己多琢磨研究，谢谢苹果的帮助