合并化简一个函数展开式

Question

已知三倍角公式结果：Sin[3A]=3Sin[A]-4Sin[A]^3；Cos[3A]=4Cos[A]^3-3Cos[A]

(Cos[\[Theta]] + I Sin[\[Theta]])^3 // Expand

如何使用Collect等函数把结果分类合并为

(4Cos[A]^3-3Cos[A])+(3Sin[A]-4Sin[A]^3)I 的输出样式，我Collect[(Cos[\[Theta]] + I Sin[\[Theta]])^3 // Expand, ___*I]这样处理连含I项都合并不到一起，更别说再把正弦换成对应的余弦合并化简了，我最终想对个(Cos[\[Theta]] + I Sin[\[Theta]])^15 // Expand实现上述效果

Comments

开那么多马甲有意思吗？

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...我错了 主要大家不太喜欢以前的那个账号，就换了个，以后不穿马甲了

Answer 1

(Cos[\[Theta]] + I Sin[\[Theta]])^3 // ComplexExpand

建议对志高这种乱开马甲的行为采取措施

 

Collect失败是因为I在MMA内部被表示成Complex[_,_]的形式，所以替换回来就行，比如可以这样

(Expand[(Cos[\[Theta]] + I Sin[\[Theta]])^3] /. Complex[re_, im_] :> re + ii im // Collect[#, ii] &) /. ii -> I

 

至于Sin换Cos，这么简单的规则替换。。。。。

ComplexExpand[(Cos[\[Theta]] + I Sin[\[Theta]])^10] /. Sin[\[Theta]]^ k_?EvenQ :> (1 - Cos[\[Theta]]^2)^(k/2) // ComplexExpand

 

Comments

要是你用Collect化简 你会怎么做
还有如何把Sin函数全部换为Cos表达再合并化简结果
比如(Cos[\[Theta]] + I Sin[\[Theta]])^10 // ComplexExpand的实部
Cos[\[Theta]]^10 - 45 Cos[\[Theta]]^8 Sin[\[Theta]]^2 +
 210 Cos[\[Theta]]^6 Sin[\[Theta]]^4 -
 210 Cos[\[Theta]]^4 Sin[\[Theta]]^6 +
 45 Cos[\[Theta]]^2 Sin[\[Theta]]^8 - Sin[\[Theta]]^10

Answer 2

Collect[Expand[(Cos[\[Theta]] + I Sin[\[Theta]])^3] /. 
Complex[0, b_] :> b i, i]
(Cos[x]^10 - 45 Cos[x]^8 Sin[x]^2 + 
Sin[x]^4) /. {Power[Sin[x], a_] /; EvenQ[a] -> 
Power[(1 - Cos[x]^2), a/2]}

大致可以这样 用i替换I，曲线解决