圆锥与平面相交的参数方程

Question

比如 x^2 + y^2 == z^2, z - z0 - y Tan[θ] == 0
简单的方法是联立方程求解得到参数方程，但是这样得到的曲线分为两部分了，借助三角函数其实是可以合成一部分的。
观察这两个例子：

{ParametricPlot3D[{x,y,z}/.Solve[{x^2+y^2==z^2,z-z0-y Tan[θ]==0}/.{z0->1/2,θ->Pi/3},{y,z}]//Evaluate,{x,-2,2}],
ParametricPlot3D[{Sqrt[1/8]Tan[t],1/4 (-Sqrt[3]+Sec[t]),1/4 (-1+Sqrt[3] Sec[t])},{t,0,2Pi}]}

{ParametricPlot3D[{x,y,z}/.Solve[{x^2+y^2==z^2,z-z0-y Tan[θ]==0}/.{z0->1/3,θ->Pi/6},{y,z}]//Evaluate,{x,-2,2}],
ParametricPlot3D[{Sqrt[1/6]Cos[t],1/6 (Sqrt[3]-3 Sin[t]),1/6 (3-Sqrt[3] Sin[t])},{t,0,2Pi}]}

我想得到通用的参数方程（含θ和z0的），不要分成两部分的，没想到怎么写出来。

好吧，这其实更像是个数学问题

Answer 1

需要把方程转换为参数方程，然后解（Solve）参数方程就行了：

x = h Cos[t]; y = h Sin[t]; z = h;

以上直接符合 x^2 + y^2 == z^2。所以接下来用第二个方程把h消掉：

Solve[{h - z0 - h Sin[t] Tan[\[Theta]] == 0}, {h}]

得
{{h -> -(z0/(-1 + Sin[t] Tan[\[Theta]]))}}

代入参数方程 {h Cos[t], h Sin[t], h} ，如下：

ParametricPlot3D[({h Cos[t],h Sin[t],h}/.{h->-(z0/(-1+Sin[t] Tan[\[Theta]]))})/.{z0->1/3,\[Theta]->Pi/6},{t,0,2\[Pi]}]

 

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Comments

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