看不懂MMA中带模分解的方法

Question

Factor[1 + x^7]
Factor[1 + x^7, Modulus -> 2]

这两种分解得到的结果不一样，且第二个的结果展开后(1 + x) (1 + x + x^3) (1 + x^2 + x^3) // Expand结果为1 + 2 x + 2 x^2 + 4 x^3 + 4 x^4 + 2 x^5 + 2 x^6 + x^7，并不等于1+x^7，我想知道第二种分解的计算原理是什么，帮助里看不清楚。

Answer 1

帮助文档里写的是“以素数 p 为模对多项式分解因式”和“在有限域上做因式分解”。

设多项式系数的数域为F，对于素数p，可以证明F={0,1,2,3,...,p-1}在Mod p的意义下，关于求和运算“+”，及乘积“*”，构成了域，此时F成为有限域（元素个数有限），对比之前是在系数为整数Z中进行因式分解，此时称为“在有限域上做因式分解”。

直接做因式分解得到(1 + x) (1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + x^6)，此时右边式子中有系数为-1，是整数，没有问题 ；但对于有限域{0,1}（Mod 2意义下)这个分解是不行的，因为-1不在这个有限域中，所以需要进一步分解得到(1 + x) (1 + x + x^3) (1 + x^2 + x^3)，展开这个多项式的时候需要注意，系数的运算是在有限域{0,1}（Mod 2意义下)中进行的，因为2≡0（Mod 2），所以 1 + 2 x + 2 x^2 + 4 x^3 + 4 x^4 + 2 x^5 + 2 x^6 + x^7在有限域{0,1}（Mod 2意义下)中和1+x^7是一样的，如果要求展开形式一样，也需要在有限域有限域{0,1}（Mod 2意义下)中展开。

Expand[(1 + x) (1 + x + x^3) (1 + x^2 + x^3), Modulus -> 2]