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2021-06-16

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Factor[1 + x^7]
Factor[1 + x^7, Modulus -> 2]

这两种分解得到的结果不一样,且第二个的结果展开后(1 + x) (1 + x + x^3) (1 + x^2 + x^3) // Expand结果为1 + 2 x + 2 x^2 + 4 x^3 + 4 x^4 + 2 x^5 + 2 x^6 + x^7,并不等于1+x^7,我想知道第二种分解的计算原理是什么,帮助里看不清楚。

分类:方程 | 用户: 睡懒觉的猫 (56 分)

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帮助文档里写的是“以素数 p 为模对多项式分解因式”和“在有限域上做因式分解”。

设多项式系数的数域为F,对于素数p,可以证明F={0,1,2,3,...,p-1}在Mod p的意义下,关于求和运算“+”,及乘积“*”,构成了域,此时F成为有限域(元素个数有限),对比之前是在系数为整数Z中进行因式分解,此时称为“在有限域上做因式分解”。

直接做因式分解得到(1 + x) (1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + x^6),此时右边式子中有系数为-1,是整数,没有问题 ;但对于有限域{0,1}(Mod 2意义下)这个分解是不行的,因为-1不在这个有限域中,所以需要进一步分解得到(1 + x) (1 + x + x^3) (1 + x^2 + x^3),展开这个多项式的时候需要注意,系数的运算是在有限域{0,1}(Mod 2意义下)中进行的,因为2≡0(Mod 2),所以 1 + 2 x + 2 x^2 + 4 x^3 + 4 x^4 + 2 x^5 + 2 x^6 + x^7在有限域{0,1}(Mod 2意义下)中和1+x^7是一样的,如果要求展开形式一样,也需要在有限域有限域{0,1}(Mod 2意义下)中展开。

Expand[(1 + x) (1 + x + x^3) (1 + x^2 + x^3), Modulus -> 2]
用户: 天龙七绝剑 (421 分)
采纳于 用户:睡懒觉的猫
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