请问如何把该式化到最简，谢谢了！！

Question

Sum[1 + (-1 + E^(-1 + (-1 + 2 k)/n))/(1 + E^(-1 + (-1 + 2 k)/n)),{k,1,n}]

n为正整数，若将n取一定值该式的值是有一定规律的，请问如何用mathematica表示出来，谢谢 ！

Answer 1

先说数学推导吧

\[\begin{align}

&\sum_{k=1}^n{\left(1+\frac{\mathbf{e}^{\frac{2k-1}{n}-1}-1}{\mathbf{e}^{\frac{2k-1}{n}-1}+1}\right)}\\

= &\sum_{k=1}^n{\left(1+\frac{\mathbf{e}^{\frac{2k-1}{n}-1}}{\mathbf{e}^{\frac{2k-1}{n}-1}+1}+\frac{-1}{\mathbf{e}^{\frac{2k-1}{n}-1}+1}\right)}\\

= &\sum_{k=1}^n{\left(1+\frac{1}{1+\mathbf{e}^{\frac{1-2k}{n}+1}}+\frac{-1}{\mathbf{e}^{\frac{2k-1}{n}-1}+1}\right)}\\

=&\sum_{k=1}^n1\\

=&n

\end{align}\]

其中倒数第二步是由于：

令$a_k=\frac{2k-1}{n}-1$，$b_k=\frac{1-2k}{n}+1$，则有$a_{n-k+1}=b_k$，所以有$\sum_\limits{k=1}^n{a_k}=\sum_\limits{k=1}^n{a_{n-k+1}}=\sum_\limits{k=1}^n{b_k}$

Comments

你好，请问这是用什么方法得到的？谢谢

---

什么方法？直接数学推导啊。

---

请问如何用mathematica写出这些过程呢？

---

MMA code:
f[k_,n_]:=1/(1+E^((1-2 k)/n+1));g[k_,n_]:=-(1/(1+E^((2 k-1)/n-1)));FullSimplify[f[n+1-k,n]+g[k,n]]

---

感谢，虽然还是看不懂